廖勇（1982-）
男，江西崇仁人，碩士研究生，（廈門大學自動化系，福建  廈門  361005）,主要研究方向為廣義時滯系統的魯棒控制等。

摘要： 針對一類廣義時滯系統，假定系統的狀態是完全可測的，基于線性矩陣不等式（LMI），通過構造Lyapunov泛函，給出了一種魯棒H∞狀態反饋控制器的設計，僅通過求解相應的線性矩陣不等式就可得到魯棒H∞狀態反饋控制器。并證明了該方法不僅使得相應的閉環系統漸近穩定，又能保證閉環系統從擾動到受控輸出之間傳遞函數的H∞范數不大于給定的指標值。用數值算例驗證了所給方法的有效性。

關鍵詞：廣義時滯系統；狀態反饋；線性矩陣不等式

Abstract:  Based on LMI and by proper Lyapunov functions, under the assumption that the system state test is available, H∞ state feedback controllers design can be obtained by solving the corresponding LMI in terms of a generalized time-delay system. This approach is proved that it can not only make the closed-loop systems asymptotically stable, but also limit the H∞ norm of the transfer function from disturbance to controlled output not greater than a given constant. At last, a numerical example is presented to illustrate the validity of this approach.

Key words: generalized time-delay systems; state feedback; LMI

1 引言

    眾所周知，由于實際系統中元器件的老化，靈敏度不夠以及信息傳遞的延遲，時滯現象廣泛存在于各種實際系統中。而時滯的存在常常是許多實際系統不穩定的根源，對正常時滯系統的研究已經取得不少成果[1,2],其控制器設計方法主要集中于用Riccati型的矩陣方程式或不等式方法[3]和線性矩陣不等式(LMI)方法[4]。因為廣義時滯系統是比正常時滯系統更加廣泛的一類系統，因此對于廣義時滯的研究已引起了越來越多的關注。本文研究了一類廣義時滯系統H∞控制器的設計，給出了廣義時滯系統H∞控制器設計的LMI方法，并可以利用LMI工具箱方便的設計出穩定的控制器。

2 問題的描述

    考慮如下形式的廣義時滯系統

         （1）

    其中是系統的狀態向量，是系統的控制輸入向量，為干擾輸入向量，為被控輸出向量，為滯后時間，（n維連續函數向量空間）為系統的初始條件。分別是已知的具有適當維數的矩陣，且。

    定義1：對于廣義時滯系統（1）的矩陣若存在，使得則稱系統（1）是正則的。

    定義2：在系統的零初始條件下，對于任意的，給定常數r>0如果有則稱系統（1）是漸近穩定的，且具有H∞性能。
  
    說明：本文在以下的研究中，我們假定系統（1）是正則的且假定系統無脈沖，正則性保證了系統存在唯一解，而無脈沖保證了系統沒有無窮極點。
  
    本文的研究目的是，對于廣義時滯系統（1），設計狀態反饋控制律

                                      （2）

    使得閉環系統

       （3）

    是漸近穩定的，且滿足一定的H∞性能指標。（其中）

3 主要結果及證明
 
    以下是本文的第一個結果，給出了閉環系統漸近穩定且具有H∞性能r的充分條件。

    定理1對于系統（1）和給定的常數r，如果存在正定對稱矩陣Q，矩陣P,使得

                                   (4) 

         (5) 

    則系統（1）具有H∞性能指標r。

    證明：構造如下的Lyapunov函數

         (6)

    是正定對稱矩陣，顯然，是正定的。

    對（6）式求導得

   

    考慮泛函指標

   

    而

   

    在系統的零初始條件下，所以有

   

   

    若令

      （7）

    則有由Schur性質可知，（7）式可以寫成如下形式

 
          (8) 


    定理2給定H∞性能指標r>0,如果存在正定對稱矩陣M，非奇異矩陣X和矩陣Y滿足

          （9）

         （10）

    則系統（3）是可以狀態反饋H∞控制的，且是系統的一個反饋控制律。

    證明：將代入（5），并對（4）左乘，右乘。對（5）左乘，右乘。得

   
    

    令定理可證。

4 算例

   

    性能指標。

    利用Matlab LMI Toolbox求得：

    

    控制律為

   

5 結束語
  
    本文研究了一類廣義時滯系統的狀態反饋H∞控制問題，通過構造Lyapunov泛函給出了穩定控制器設計的線性矩陣不等式（LMI）方法，可以使得閉環系統漸近穩定，且滿足一定的H∞性能指標。利用MATLAB軟件，可以很方便地設計系統的控制器。因此，本文的結果具有一定的理論和實用價值。

    其它作者：陳高（1984-），男，江西萍鄉人，碩士研究生，主要研究方向為降階控制器。

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