程娟 （1984-）

女，湖北黃岡人，碩士研究生，研究方向為切換系統(tǒng)、時滯依賴、極點配置、魯棒控制。

摘要：本文研究了一類具有圓盤極點約束的不確定線性切換系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定問題.對此類系統(tǒng)設(shè)計了狀態(tài)反饋控制器，使得閉環(huán)系統(tǒng)的所有極點均位于一個給定的圓盤中，并得到了一個基于LMI的充分條件.通過求解線性矩陣不等式，可以構(gòu)造一個具有較小反饋增益參數(shù)的狀態(tài)反饋控制器.最后的仿真算例證明了本文結(jié)果的有效性。

關(guān)鍵詞：切換系統(tǒng)；魯棒控制；極點配置；狀態(tài)反饋

Abstract: The robust stabilization for uncertain linear switched systems with disk polo
 constraints is studied in this paper,. State feedback controller is designed so that the
poles of the closedloop system can be assigned in a prespecified disk. A sufficient 
condition based on LMI is therefore obtained. The problem of designing the controllers with
 smaller gain parameters is solved based on LMI conditions. The simulation shows the 
validity of the results.

Key words: switched systems; robust control; pole assignment; state feedback

1 引言

    切換系統(tǒng)由于其廣泛的應(yīng)用背景得到了極大的關(guān)注，主要集中在切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒鎮(zhèn)定問題的研究上，對閉環(huán)系統(tǒng)設(shè)計反饋控制器的一個基本要求就是將極點配置在指定的位置上，從而保證閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)性和穩(wěn)定性。近年來對具有極點約束的不確定系統(tǒng)的研究已經(jīng)有很多結(jié)果成果[1-3]，文獻[5]將一類不確定閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置在一個給定圓盤中，并設(shè)計狀態(tài)反饋控制器，文獻[6]討論了一類具有閉環(huán)極點約束的線性離散系統(tǒng)的輸出反饋控制問題，文獻[7]利用狀態(tài)反饋的方法得到了極點在橢圓形區(qū)域中的不確定線性系統(tǒng)的充分條件。這幾篇文章討論的都是一般系統(tǒng)，未涉及到切換系統(tǒng)。

    本文研究了一類不確定切換系統(tǒng)，將其閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置在一個給定的圓盤中，并設(shè)計了無記憶狀態(tài)反饋控制器，最后采用基于LMI的處理方法得到了狀態(tài)反饋控制器存在的條件和反饋增益參數(shù).

2 問題描述

    考慮如下的一類不確定切換系統(tǒng)

    （1）
   
    其中， 是系統(tǒng)的狀態(tài)向量，是系統(tǒng)的控制輸入，是系統(tǒng)的控制輸出，是外部擾動，，，，，是已知的具有適當(dāng)維數(shù)的實常數(shù)矩陣，，分別是狀態(tài)向量和控制輸入的不確定項，且滿足下面的形式

       （2）

   其中是具有適當(dāng)維數(shù)的實常數(shù)矩陣，是滿足 的未知矩陣，表示復(fù)平面上單位圓內(nèi)中心在 ，半徑為 的圓盤，其中和滿足 [8]。

    下面首先研究系統(tǒng)(1)的標稱系統(tǒng)

        （3）

    本文的目的是設(shè)計一個無記憶狀態(tài)反饋控制器

                        （4）

    使得對所有允許的擾動，閉環(huán)系統(tǒng)

        （5）

    具有以下性質(zhì)：

    i) 所有閉環(huán)極點均位于預(yù)先給定的中心，半徑為，且滿足的圓盤中；

    ii) 從外部擾動 到被控輸出的傳遞函數(shù)，滿足，其中。

    這樣的一個問題就稱為是系統(tǒng)（3）的魯棒 鎮(zhèn)定問題，控制器（4）稱為系統(tǒng)（5）的一個穩(wěn)定控制器。

    引理1給定矩陣，以及適當(dāng)維數(shù)的矩陣， 則 。對任意滿足 的 成立的充要條件是存在，使得 。

    引理 2[4] 對給定單位圓內(nèi)的圓盤和正常數(shù)，如果存在一個對稱正定矩陣，使得

        （6）

    其中，，則系統(tǒng)（5）具有性質(zhì)i)和ii)。

3 主要結(jié)論

    對系統(tǒng)（1）的標稱系統(tǒng)（3）有如下的結(jié)論

    定理1對給定單位圓內(nèi)的圓盤和正常數(shù)，如果以下不等式成立

        （7）

    （*表示關(guān)于對角線的對稱矩陣）當(dāng)（7）式存在解和 時，，，則系統(tǒng)（5）存在具有穩(wěn)定控制器（4）。其中
   
    ，
    證明：對不等式（6）中的第一個不等式代入和 的表達式，經(jīng)整理并利用矩陣的Schur補性質(zhì)可得到如下等價不等式

        （8）

    其中，

    代入和 的表達式，可知不等式（8）是非線性的，為了將非線性不等式（8）轉(zhuǎn)換成線性不等式，于是對不等式（8）左乘和右乘矩陣，并令， 即可得到不等式（8）等價于不等式（7），于是定理1得證。

    下面考慮不確定線性切換系統(tǒng)（1），同理，對系統(tǒng)（1）設(shè)計一個無記憶狀態(tài)反饋觀測器

        （9）

    則得到的閉環(huán)系統(tǒng)為

        （10）

    于是，對系統(tǒng)（10）我們有如下的結(jié)論

    定理 2對給定單位圓內(nèi)的圓盤和正常數(shù)和 ，如果以下不等式成立

    （11）

    當(dāng)（11）式存在解和時，，，則系統(tǒng)（1）存在具有穩(wěn)定控制器（10）。其中
    ， 
    ，。

    證明：對定理2的證明，只需將定理1中的用代替，并運用引理1，結(jié)合矩陣的Schur補性質(zhì)，即可得到結(jié)論，在此略去。

4 數(shù)值算例

    下面給出一個簡單的系統(tǒng)（1）的標稱系統(tǒng)的數(shù)值算例。

    對于系統(tǒng)（3）
    ；；；；；
    ；；；；；
   

                                                圖1

    取， ，，根據(jù)定理1利用MATLAB求得

     ；

     ；

     ；

    該系統(tǒng)在初始狀態(tài) 和切換規(guī)則為1秒切換一次，應(yīng)用定理1，可以得到把各子系統(tǒng)極點配置在內(nèi)且漸近穩(wěn)定的結(jié)果，系統(tǒng)狀態(tài)如圖1所示。

5 結(jié)論

    本文研究了一類不確定切換系統(tǒng)具有圓盤極點約束的魯棒控制問題，設(shè)計了狀態(tài)反饋控制器，使得閉環(huán)系統(tǒng)的極點都配置在制定的圓盤區(qū)域內(nèi)，得到了基于LMI的狀態(tài)反饋存在的充分條件，并通過MATLAB求解出了反饋增益參數(shù)，最后給出了一個具有兩個子系統(tǒng)的切換系統(tǒng)的仿真數(shù)例，其結(jié)果證明了本文結(jié)論的有效性。



參考文獻

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