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一種三自由度并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)分析

企業(yè)：控制網(wǎng) 領(lǐng)域：傳感器行業(yè)：建筑樓宇
點(diǎn)擊數(shù)：3062 發(fā)布時間：2006-07-19 19:54:50
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本文提出了一種具有三個轉(zhuǎn)動自由度的并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)，介紹了它的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)，建立了該機(jī)器人機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)位姿、速度及加速度的正反解方程，并進(jìn)行了數(shù)值實(shí)例驗(yàn)證，為該機(jī)器人機(jī)構(gòu)的進(jìn)一步分析研究和開發(fā)奠定了理論基礎(chǔ)

1. 前言
        并聯(lián)機(jī)器人具有輸出精度高、結(jié)構(gòu)剛性好、承載能力強(qiáng)、部件簡單及運(yùn)動學(xué)反解簡單等許多串聯(lián)機(jī)器人所沒有的優(yōu)點(diǎn)，近年來引起了機(jī)器人研究者的高度重視。其中，六自由度并聯(lián)機(jī)器人方面的研究已比較深入和成熟。三自由度并聯(lián)機(jī)器人是一種很有實(shí)用前景的機(jī)器人，其也越來越多地引起人們的注意。三自由度并聯(lián)機(jī)器人包括平面三自由度并聯(lián)機(jī)器人，球面三自由度并聯(lián)機(jī)器人和空間三自由度并聯(lián)機(jī)器人。球面三自由度并聯(lián)機(jī)器人能夠?qū)崿F(xiàn)運(yùn)動平臺三維轉(zhuǎn)動，是一種角臺形式，由靜角臺、動角臺和三組具有一定弧度的連桿架和連桿構(gòu)成，各聯(lián)接處均采用轉(zhuǎn)動副。這種機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)復(fù)雜、設(shè)計困難。
        本文針對某水下運(yùn)動模擬裝置提出一種具有三個轉(zhuǎn)動自由度的并聯(lián)機(jī)器人平臺，該機(jī)構(gòu)與球面三自由度并聯(lián)機(jī)器人相比，具有部件少，結(jié)構(gòu)簡單，運(yùn)動學(xué)方程形式簡單，求解容易，計算量小，易于控制等優(yōu)點(diǎn)。這種并聯(lián)機(jī)構(gòu)不僅可用作特殊的運(yùn)動模設(shè)備，還可以應(yīng)用于機(jī)器人三自由度柔性腕關(guān)節(jié)、肩關(guān)節(jié)等機(jī)器人結(jié)構(gòu)上，具有一定的應(yīng)用前景。

2. 結(jié)構(gòu)描述
圖1為所設(shè)計的三自由度并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)。上、下平臺是兩個不同長度的等邊三角形q₁q₂q₃和P₁P₂P₃，其外接圓半徑分別為r和R。上下平臺形心點(diǎn)分別為C和O，形心點(diǎn)之間用固定桿長的支撐桿相聯(lián)。P₁q₁、P₂q₂、P₃q₃之間用三根可以伸縮的支撐桿相聯(lián)接。固定支撐桿與下平臺固接，與上平臺運(yùn)動副為球鉸，三根可以伸縮的支撐桿與上平臺運(yùn)動副為球鉸，與下平臺運(yùn)動副為虎克鉸。固定坐標(biāo)OXYZ置于下平臺三角形中央，原點(diǎn)位于O點(diǎn)，Z軸垂直向上，X軸通過P₂點(diǎn)，方向如圖所示，Y軸平行于P₁P₃。OP₁與X軸方向的夾角為q。固定于上平臺的動坐標(biāo)系Cxyz原點(diǎn)位于形心C點(diǎn)，x軸沿Cq₁方向，y軸平行于q₂q₃，z軸垂直于上平臺。各鉸接點(diǎn)的坐標(biāo)為

P_i（X_i，Y_i，0）^T的絕對坐標(biāo)

q_i（x_i，y_i，0）^T對Cxyz的坐標(biāo)

圖1 三自由度并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)

具有上述結(jié)構(gòu)的并聯(lián)平臺由于中間固定支撐桿限制了三個移動自由度，從而使上平臺只能實(shí)現(xiàn)空間三維轉(zhuǎn)動。當(dāng)機(jī)構(gòu)的移動副作長度變化時，上平臺的位置參數(shù)隨之變化，實(shí)現(xiàn)三個自由度的轉(zhuǎn)動。根據(jù)機(jī)構(gòu)自由度計算公式：

（1）

式中n為構(gòu)件數(shù)，g為關(guān)節(jié)數(shù)，f₁為所有關(guān)節(jié)自由度總數(shù)，對于本并聯(lián)機(jī)器人n＝8，g＝10，f₁＝21，故本機(jī)器人自由度F＝3。

3. 運(yùn)動學(xué)分析

3.1 運(yùn)動學(xué)位姿反解

所謂機(jī)器人運(yùn)動學(xué)位姿反解指已知輸出件的位置和姿態(tài)，求解機(jī)構(gòu)輸入件的位置稱為機(jī)構(gòu)位姿的反解。所設(shè)計的并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的坐標(biāo)如圖1所示，設(shè)（a，b，g）^T為動坐標(biāo)系繞X，Y，Z三軸的轉(zhuǎn)動角位移，C點(diǎn)在固定坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為（0，0，z_c）^T，在上平臺運(yùn)動過程中為定值。經(jīng)過齊次變換，在動坐標(biāo)系下的鉸接點(diǎn)q_i在OXYZ坐標(biāo)系中的坐標(biāo)Q_i（X_Ti，Y_Ti，Z_Ti）^T可表示為

其中i＝1，2，3，R_T為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣

（3）

式中c（?）表示cos（?），s（?）表示sin（?）。

則相應(yīng)的桿長為

（4）

這樣當(dāng)已知上平臺的角位移，通過式（4）就可求得各桿的桿長。

3.2 運(yùn)動學(xué)位姿正解

當(dāng)給出三個驅(qū)動器的三個輸入L_i，計算運(yùn)動平臺末端件的位置和姿態(tài)，即為運(yùn)動學(xué)的位姿正解。由式（4）

（5）

式中

式（5）為含有6個未知數(shù)的3個方程組成的線性方程組，若選其中的3個未知數(shù)l_x，l_z，m_z作為基本變量，則其余的3個未知數(shù)可以表達(dá)成這3個變量的函數(shù)

（6）

式中，F_i，D_i，H_i和I_i（i＝1，2，3）為常數(shù)，可以通過式（5）求得。此外，轉(zhuǎn)換矩陣R_T中的元素存在下列關(guān)系

（7）

將式（6）代入式（7）中，可以得到只含有未知數(shù)l_x，l_z，m_z的3個方程，進(jìn)一步整理后寫成下面的形式

（8）

i＝1，2，3，f_i,1，f_i,2，f_i,3是常數(shù)，f_i,4，f_i,5是lx的一次多項(xiàng)式，f_i,6是l的二次多項(xiàng)式。且f_1,2，f_1,3，f_1,5，f_3,2為零。

當(dāng)i＝1時，分別用1，l_z，m_z，l_zm_z，m²_z乘以式（8）可得5個方程，當(dāng)i＝2，3時，分別用1，l_z，m_z，l_zm_z乘以式（8）可得8個方程，這13個方程中含有13個未知數(shù)，可以寫成

BY＝0 （9）

式中，B為13×13的矩陣，并且其元素為l_x的多項(xiàng)式，Y是13×1的未知數(shù)向量，

（10）

式（9）是一齊次線性方程組，其有解的條件是其系數(shù)行列式為零，即

det| B |=0 （11）

從式（11）可得到關(guān)于l_x的8次多項(xiàng)式

（12）

由此得到l_x有8個可能的解，由對稱性知，l_z，m_z也各有8個解。因此，所設(shè)計的3自由度并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)對于一組給定的輸入桿長，上平臺最多有8個可能的位姿。

3.3 速度求解

根據(jù)所設(shè)計的并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，通過推導(dǎo)雅克比矩陣J可以得出速度運(yùn)動學(xué)公式。由于所設(shè)計的機(jī)構(gòu)只有轉(zhuǎn)動，沒有平動。根據(jù)圖1所示，當(dāng)已知上平臺的角速度，上平臺各鉸鏈點(diǎn)q₁，q₂和q₃處的速度（i＝1,2,3）可以表示為

（13）

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